此事宜分开考虑：
一、如果是治安案件，即不构成犯罪的前提下，对民事赔偿问题可由公安机关调解，调解不成，可诉讼。
二、对于刑事案件，应该在案件审判阶段，即案件已经在***审理时，被害人一方可***附带民事赔偿案件。或是如果刑事案件结案，当事人可另诉民事赔偿案件。
对方全责，肇事逃逸后被抓到，准备私了，理赔程序大致如下：
1、对方由于肇事逃逸，在交强险范围内赔偿后，第三者责任险由于通常保险公司规定肇事逃逸不予理赔，因此就超过部分，应该向肇事者追讨，要求给予全部赔偿。 交通事故赔偿项目主要包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院期间伙食补助费、营养费、鉴定费、残疾赔偿金、残疾辅助器具费、丧葬费、被扶养人生活费、死亡赔偿金。
2、如果对方没办法协商或者拒绝赔偿的，由于对方肇事逃逸已经涉嫌犯罪，因此除刑事责任外，需承担民事责任，当事人在如果与其不能协商民事赔偿，可以在公诉机关提起公诉时附加民事赔偿。
1、刑事案件的和解主要是指民事部分的双方通过协商解决民事赔偿事宜。
2、撤诉主要指民事诉讼案件立案后判决前双方通过协商解决后，申请***撤销案件。
3、对于刑事案件而言，不存在和解撤案问题，因为刑事案件是公权介入，公权不存在和解的问题；但刑事案件存在撤销案件的问题，也就说，构成违法，但情节轻微，不认为是犯罪，或虽然构成犯罪，但情节轻微、社会危害性小，不予以追究刑事责任，才何以撤销案件。就你所说的案件，如果情节轻微、社会危害性小，并于移动公司就民事赔偿达成赔偿协议，有可能刑事方面不予立案，只给与治安处罚。换一句话说，如果是构成犯罪，能和移动公司就民事赔偿达成赔偿协议并取得谅解书，对减轻刑事处罚是由好处的，也许还可以判缓刑。